题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A．
（1）求c的值；
（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．

答案

解：（1）把（0，3）代入函数解析式y=ax²+bx+c中，得c=3；
（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，则D、E分别在线段AB、BC上，或分别在AB、OC上，
若D、E分别在线段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，
令y=3，得x²-bx=0，
解得：x=0或x=b，故D（b，3），令x=6，
得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面积S= AD?BE= b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
则当b=时，S有最大值 ．
若D、E分别在AB、OC上，
△ADE的面积S=AD?BE=b?3=b，
∵抛物线的对称轴为：x=，当过点C时，抛物线为：y=-x²+ x+3，
∴0＜ ≤ ，
∴当b= 时，S有最大值．

 （3）当点M、N分别在AB、OC上时，过M作MG⊥OC于点G，连接OM，
∴MG=OA=3，∠2+∠MNO=90°，
∵OF垂直平分MN，
∴OM=ON，∠1+∠MNO=90°，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1= ，tan∠2=tan∠1=1 3 ，
∴GN= GM=1，设N（n，0），则G（n-1，0）
∴M（n-1，3）
∴AM=n-1，ON=n=OM，
在直角△AOM中，OM²=OA²+AM²，
∴n²=3²+（n-1）²，
解得：n=5，
∴M（4，3），N（5，0），
把M、N代入二次函数的解析式得： 
解得：  ，
则函数的解析式是：；
如右图，当点M、N分别在AB、BC边上时，
设M的坐标是（g，3），N的坐标是（6，h），
直线OF与BC交点的横坐标是6，纵坐标是3-1=2，
把（6，2）代入函数y=kx中，得k= ，故直线OF的解析式是y= x，
∵OF垂直平分MN，
∴点（）在直线y=x上，OM=ON，
∴，g²+9=36+h²，
即g=3h+3①，
g²+9=36+h²，②
解关于①②的方程组，
得  （负数不合题意，舍去），
把（ ，3）、（6，）代入二次函数y=ax²+bx+3中，
得  ，
解得    ．
故所求二次函数解析式是
则二次函数解析式是．