题目

题型：不详难度：来源：

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-

1

2

x²+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

13

2

个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

答案

（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
∴

c=3 -8+4b+c=3

，
解得：

c=3 b=2

，
∴该抛物线解析式y=-

1

2

x²+2x+3，
设直线AD的解析式为y=k₁x+b₁
∵A（4，0）、D（2，3），
∴

4k1+b1=0 2k1+b1=3

∴

k1=- 3 2 b1=6

，
∴y=-

3

2

x+6，
联立

y=- 3 2 x+6 y=- 1 2 x2+2x+3

，
∵F点在第四象限，
∴F（6，-3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），
连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴

b2=3 6k2+b2=-3

，
解得：

k2=-1 b2=3

，
∴y=-x+3
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴

AM

AE

=

AN

AO

=

MN

EO

，
∴

13 2 t

2 13

=

AN

4

=

MN

6

，
∴AN=t，MN=

3

2

t，
I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=

1

2

PH，
∴MN=

3

2

t=

3

2

，
∴t=1；
II如图2，当PM=HP时，MH=3，MN=

3

2

t，
HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中，MN²+HN²=MH²，
∴(

3

2

t)2+(4-2t)2=32，
即25t²-64t+28=0，
解得：t₁=2（舍去），t2=

14

25

；
III如图4，当PH=PM时，
∵PM=3，MT=|3-

3

2

t|，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
即(3-

3

2

t)2+(4-2t)2=32，
∴25t²-100t+64=0，
解得：t1=

16

5

，t2=

4

5

综上所述：t=

14

25

，

4

5

，1，

16

5

．