题目

题型：不详难度：来源：

如图，设抛物线C₁：y=a（x+1）²-5，C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁与C₂的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C₂顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

答案

（1）∵点A（2，4）在抛物线C₁上，
∴把点A坐标代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴抛物线C₁的解析式为y=x²+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=

3

，EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得

ME

MH

=

EG

HN

，
∴

4

5

=

3

x-1

，
∴x=

5

4

3

+1，
∴点N的横坐标为

5

4

3

+1；
②当点D移到与点A重合时，如图，
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=

1

2

HG=2，HQ=

42-22

=2

3

，
∴OQ=OH+HQ=2+2

3

，
∴G（2+2

3

，2），
∴NQ=x-2-2

3

，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴

NQ

NF

=

GQ

MF

，
∴

x-2-2 3

x-1

=

2

5

，
∴x=

10 3 +8

3

，
当点D移到与点B重合时，如图：
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴

NH

FN

=

BH

MF

，
∴

x+2

1-x

=

4

5

，
∴x=-

2

3

，
∴点N横坐标的范围为-

2

3

≤x≤

10 3 +8

3

且x≠0．