题目

题型：不详难度：来源：

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒

2

个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN．在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

答案

（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
由题意得

- b 2a =4 c=12 4a+2b+c=0

，
解得

a=1 b=-8 c=12

，
∴二次函数的解析式为y=x²-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）；

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
当y=0时，x²-8x+12=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m
则

6k+m=0 4k+m=-4

，
解得

k=2 m=-12

∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，-4），
∴OP=4

2

设D（x，2x）则BD²=（2x）²+（6-x）²
当BD=OP时，（2x）²+（6-x）²=32，
解得：x₁=

2

5

，x₂=2，
当x₂=2时，OD=BP=2

5

，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=

2

5

时四边形OPBD为等腰梯形，
∴当D（

2

5

，

4

5

）时，四边形OPBD为等腰梯形；

（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒

2

个单位长度，运动时间为t秒，则MP=

2

t，
∴PH=t，MH=t，HN=

1

2

（4-t），
∴MN=MH+HN=2+

1

2

t，
∴S=（2+

1

2

t）•t•

1

2

=

1

4

t²+t；
②当2＜t＜4时，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵MN∥OB
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴

S△P1EF

S△P1MN

=(

P1G

P1H

)2，
∴

S△P1EF

3 4 t2

=(

2t-4

t

)2，
∴S△P1EF=3t²-12t+12，
∴S=

3

4

t²-（3t²-12t+12）=-

9

4

t²+12t-12，
∴当0＜t≤2时，S=

3

4

t²，
当2＜t＜4时，S=-

9

4

t²+12t-12．