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题目
题型:不详难度:来源:
已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)如图:∵点A、B、C、D在⊙O上,且∠ACO=∠ACB=60°,
∴∠BOA=∠ABO=60°,
∴△ABO是等边三角形,
∵OA=2,
过点B作BD⊥OA于点D,
∴OD=
1
2
OA-1,BD=OB•sin60°=


3

∴B(1,


3
),
∴点B关于x轴对称的点D的坐标为(1,-


3
);

(2)设经过A(2,0)、B(1,


3
)、O(0,0)的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),





0=c
0=4a+2b+c


3
=a+b+c






a=-


3
b=2


3
c=0

∴y=-


3
x2
+2


3


(3)存在点P,使四边形PABO为梯形,
∵△BOA是等边三角形,
点D是点B关于x轴的对称点,
∴OA、BD相互垂直平分,
∴四边形DABO是菱形,
∴ADBO,
∴所求点P必在直线AD上,
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠O),





0=2k+b
-


3
=K+b






k=


3
b=-2


3

∴y=


3
x-2


3

联立





y=


3
x-2


3
y=-


3
x2+2


3
x

解得





x1=2
y1=0





x2=-1
y1=-3


3






x1=2
y1=0
时,就是点A(2,0);





x2=-1
y1=-3


3
时,
即为所求点P(-1,-3


3
),
过点P作PG⊥x轴于G,则|PG|=3


3

∴PA=6而BO=2,
在四边形PABO中,BOAP且BO≠AP,
∴四边形PABO不是平行四边形,
∴OP与AB不平行,
∴四边形PABO为梯形,
同理,在抛物线上可求得另一点P(3,-3


3
),也能使四边形PABO为梯形.
故存在点P(-1,-3


3
),或P(3,-3


3
),使四边形PABO为梯形.
核心考点
试题【已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;(2)】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
东方商厦专销某品牌的计算器,已知每只计算器的进价是12元,售价是20元.为了促销,商厦决定:凡是一次性购买10只以上(不含10只)的顾客,每多买1只计算器,其购买的每只计算器的售价就降低O.10元(假设顾客购买了18只计算器,则每只计算器售价为:20-0.10×(18-10)=19.20元,顾客应付的购货款为:18×19.20=345.60元),但最低售价为16元/只.
(1)求顾客至少一次性购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)设顾客一次性购买x(10<x≤50)只计算器时,东方商厦可获利润y(元),试求y与x之间的函数关系式及商厦的最大利润;
(3)有一天,一位顾客一次性购买了46只计算器,另一位顾客一次性购买了50只计算器,结果商厦发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次获利随着销量的增大而增大,在其他促销条件不变的情况下,商厦应将最低价16元/只至少提高到多少?为什么?
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已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程y1-y2=0的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(Ⅰ)若α=
1
3
,β=
1
2
,求函数y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为
1
123
时,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,当0<t<1时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
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如图1,直线y=-
2
3
x+2
与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(-1,0).

(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;
(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),过点P作直线ay轴,交抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S.
①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
②求S的最大值,并判断此时△OBE的形状,说明理由;
(3)过点P作直线bx轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知:抛物线y=x2+(b-1)x+c经过点P(-1,-2b).
(1)求b+c的值;
(2)若b=3,求这条抛物线的顶点坐标;
(3)若b>3,过点P作直线PA⊥y轴,交y轴于点A,交抛物线于另一点B,且BP=2PA,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示:请画示意图思考)
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抛物线y=ax2+bx+c,与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线的解析式.
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