题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

5

6

x²+

13

6

x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=

1

2

x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
（3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．

答案

（1）∵一次函数y=

1

2

x+b的图象经过点B（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+b，
解得b=

1

2

；
∵抛物线y=-

5

6

x²+

13

6

x+c经过点B（-1，0），
∴0=-

5

6

×（-1）²+

13

6

×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①

1

2

x+

1

2

=-

5

6

x²+

13

6

x+3，
化简得x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
当x=3时，y=2，
∴A（3，2）；
②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB²=（-1-3）²+（0-2）²=20，AD²=（0-3）²+（3-2）²=10，DB²=（-1-0）²+（0-3）²=10，
∴AB²=AD²+DB²，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=

OD

OB

=

3

1

=3；

（3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
1、旋转后OD在抛物线上：
设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-

5

6

x²+

13

6

x+3=-

5

6

（x-

13

10

）²+

529

120

，对称轴x=

13

10

，
则x₁=

13

10

-

1

2

|OD|=

13

10

-

3

2

=-

1

5

，x₂=

13

10

+

3

2

=

14

5

，
则两点为（-

1

5

，

38

15

）、（

14

5

，

38

15

）．
这时分别：①O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

）；②O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），此时O′D′=3．
设旋转中心P点的坐标为（x，y）．
①如果O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

），由题意，得

x+y= 38 15 y-x= 1 5

，解得

x= 7 6 y= 41 30

，
此时旋转中心P₁为（

7

6

，

41

30

）；
②如果O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），由题意，得

y-x= 38 15 x+ 1 5 =3- 38 15 -x

，解得

x= 2 15 y= 8 3

，
此时旋转中心P₂为（

2

15

，

8

3

）；
2、旋转后OB在抛物线上：
由于OB⊥y轴，则O′B′⊥x轴，此时显然不成立；
3、旋转后BD在抛物线上：
BD边旋转90°后所得线段B′D′与BD垂直，直线斜率k_BD=3，则k_B′D′=-

1

3

．
设旋转后B′D′所在直线方程为：y=-

1

3

x+m，
与抛物线：y=-

5

6

x²+

13

6

x+3联立，解方程组，得：

x= 15+ 585-120m 10 y= -15- 585-120m +30m 30

或

x= 15- 585-120m 10 y= -15+ 585-120m +30m 30

，此为两个交点的坐标．
∵B′D′=BD=

10

，
∴（

15- 585-120m

10

-

15+ 585-120m

10

）²+（

-15+ 585-120m +30m

30

-

-15- 585-120m +30m

30

）²=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴两点坐标：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），则D′与D重合，所以此时旋转中心为P₃（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），则此时旋转中心为P₄（1，1）．
综上可知，旋转中心为（0，3）、（1，1）、（

7

6

，

41

30

）、（

2

15

，

8

3

）．