题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如（图1），在平面直角坐标系中，已知点，点在x正半轴上，且．动点在线段上从点向B点以每秒个单位的速度运动，点M、N在x轴（M在点N的左侧），以P、M、N为顶点的三角形是等边三角形，设运动时间为秒． 
（1） 求直线的解析式；
（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．

答案

解：（1）直线的解析式为：．
（2），，，
，，
是等边三角形，，
，．
当点与点N重合时，，．，．
（3）①当时，见图2．
设交于点H，重叠部分为直角梯形，
作于．
，，，
，，
，，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，交于点，交于点G，重叠部分为五边形．作于，
，
，
，
．
，∴当时，有最大值，．
③当时，，即与D重合，设交于点，交于点G，重叠部分为等腰梯形，见图4．
，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
，∴S的最大值是．