题目
题型:四川省中考真题难度:来源:
(1)求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线l的解析式;
(2)请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)提出一个猜想吗?请用数学语言把你的猜想表达出来,并给予证明。
答案
其顶点为,
取a=-1,得抛物线,
其顶点为,
由题意有在直线l上,设直线l的解析式为,
则解得:
∴直线l的解析式为;
(2)∵抛物线的顶点P坐标为,
显然P在直线上,
又能取到除0以外的所有实数,
∴在上仅有一点(0,3)不是该抛物线的顶点;
(3)猜想:对于抛物线,将其顶点的横坐标减少,纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加,纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线上,
证明如下:
∵抛物线的顶点坐标为(),
∴点A的坐标为,
点B的坐标为,
∵时,
∴点A在抛物线,
同理有B也在抛物线上,故结论成立。
核心考点
试题【已知抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)有如下两个特点:①无论实数a怎样变化,其顶点都在某一条直线l上;②若把顶点的横坐标减少,纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐】;主要考察你对二次函数的图象等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由。
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围。
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