题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存地，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A，B两点
∴-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1
∴点A（-1，0），B（3，0）
又∵抛物线y=-x²+2x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3）。（2）∵抛物线y=-x²+2x+3的定点为M
∴

∴M（1，4）
∴过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3
∴S_△BCM=S_△BOC=3。（3）存在点P
i）以AC为腰：
①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P₁，P₂（P₁在P₂的右侧）

∴P₁O=+1，P₂O=-1
∴
②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P₃
∴点P₃与点A关于y轴对称，则点P₃坐标为（1，0），
ii）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点P₄，垂足为F，
则AF=
∵∠AFP₄=∠AOC=90°，∠CAO=∠P₄AF
∴△AOC∽△AFP₄
∴
∴
∴AP₄=5
∴OP₄=5-1=4
∴P₄（4，0）
∴点P的坐标为：P₁（-1，0），P₂（--1，0），
P₃（1，0），P₄（4，0）。