题目

题型：不详难度：来源：

请阅读下面材料：
若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：

① ②

证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，            ∴        且 ≠. 
①-②得 .
∴.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

答案

（1）略
（2）2011

解析

解：（1）结论：自变量取，时函数值相等． …………………1分
证明：∵，为抛物线上不同的两点，

① ②

              由题意得         且≠．          ①-②，得 .
……………………………………………………………2分
∵ 直线是抛物线（a ≠ 0）的对称轴，
∴.
∴.
∴，即.………………3分
（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而
没有用代数方法进行证明的不给分）
（2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，
∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
∴ ，.
∴ 二次函数的解析式为. …………………………………4分
∵，
由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为，
∴ 当x =" 2012" 时的函数值为2011. …………………………………………