题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
小题1:求P点坐标及a的值；
小题2:如图（1），

抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；
小题3:如图（2），

点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

答案

 
小题1:由抛物线C₁：得
顶点P的为（-2，-5）  ………2分
∵点B（1，0）在抛物线C₁上
∴
解得，a＝            ………4分
小题2:连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）                 ………6分
抛物线C₂由C₁关于x轴对称得到，抛物线C₃由C₂平移得到
∴抛物线C₃的表达式为  ………8分
小题3:∵抛物线C₄由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称

由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）           ………9分
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104
PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50
NF²＝5²+3²＝34              ………10分
①当∠PNF＝90º时，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q点坐标为（，0） 
②当∠PFN＝90º时，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．      ………12分

解析

略