题目

题型：不详难度：来源：

巳知二次函数y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0"恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．

答案

（1）令y＝0，由解得；
令x＝0，解得y＝8a．
∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，
该抛物线对称轴为直线x＝3．
∴OA＝2．
如图①，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．
由题意得：．
∴，∴∠O′AM＝60°．
∴，即．∴．
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．
(Ⅰ)如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM．
∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
(Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，
∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．
∴FB＝3，，∴3≤PB<．
∵PC≥4，∴PC>PB．

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB．
∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．
点P的坐标是(3，t)，
∴PC²＝32＋(t－8a)²，PD²＝(t＋a)²．
整理得7a²－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t²－28．
∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t²－28>0
∴方程7a²－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．
显然，满足题意．
∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．

解析

二次函数的综合运用