题目
题型:不详难度:来源:
小题1:求这个抛物线的解析式
小题2:如图②,过点A的直线与抛物线交于点E,交轴于点F,其中点E的横坐标为-2,若直线为抛物线的对称轴,点G为直线上的一动点,则轴上是否存在一点H,使四点所围成的四边形周长最小,若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;
小题3:如图③,连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图① 图②
图③
答案
小题1:设所求抛物线的解析式为:,将A(1,0)、B(-3,0)、 D(0,3)代入,得 …………………………………………2分
即所求抛物线的解析式为: ……………………………3分
小题2:如图④,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,
在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为-2,将x=-2,代入抛物线,得
∴点E坐标为(-2,3)………………………………………………………………4分
又∵抛物线图象分别与x轴、y轴交于点A(1,0)、B(-3,0)、
D(0,3),所以顶点C(-1,4)
∴抛物线的对称轴直线PQ为:直线x=-1, [中国教#&~@育出%版
∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE……………………………………………②
分别将点A(1,0)、点E(-2,3)
代入y=kx+b,得:
解得:
过A、E两点的一次函数解析式为:
y=-x+1
∴当x=0时,y=1
∴点F坐标为(0,1)……………………5分
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称,
∴点I坐标为(0,-1)
∴……………………………………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,
∴只要使DG+GH+HI最小即可 ……………………………………6分
由图形的对称性和①、②、③,可知,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小
设过E(-2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:,
分别将点E(-2,3)、点I(0,-1)代入,得:
解得:
过I、E两点的一次函数解析式为:y=-2x-1
∴当x=-1时,y=1;当y=0时,x=-;
∴点G坐标为(-1,1),点H坐标为(-,0)
∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④,可知:
DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为. …………………………………………7分
小题3:如图⑤,
由(2)可知,点A(1,0),点C(-1,4),设过A(1,0),点C(-1,4)两点的函数解析式为:,得:
解得:,
过A、C两点的一次函数解析式为:y=-2x+2,当x=0时,y=2,即M的坐标为(0,2);
由图可知,△AOM为直角三角形,且, ………………8分
要使,△AOM与△PCM相似,只要使△PCM为直角三角形,且两直角边之比为1:2即可,设P(,0),CM=,且∠CPM不可能为90°时,因此可分两种情况讨论; ……………………………………………………………………………9分
①当∠CMP=90°时,CM=,若则,可求的P(-4,0),则CP=5,,即P(-4,0)成立,若由图可判断不成立;……………………………………………………………………………………10分
②当∠PCM=90°时,CM=,若则,可求出
P(-3,0),则PM=,显然不成立,若则,更不可能成立.……11分
综上所述,存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似,点P的坐标为(-4,0)12分
解析
(2)若四边形DFHG的周长最小,应将边长进行转换,利用对称性,要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,只要使DG+GH+HI最小即可,
由图形的对称性和,可知,HF=HI,GD=GE,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小,即
,DF+EI=
即边形DFHG的周长最小为.
(3)要使△AOM与△PCM相似,只要使△PCM为直角三角形,且两直角边之比为1:2即可,设P(,0),CM=,且∠CPM不可能为90°时,因此可分两种情况讨论,①当∠CMP=90°时,CM=,若则,可求的P(-4,0),则CP=5,,即P(-4,0)成立,若由图可判断不成立;②当∠PCM=90°时,CM=,若则,可求出P(-3,0),则PM=,显然不成立,若则,更不可能成立. 即求出以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似的P的坐标(-4,0)
核心考点
试题【如图①,二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点,与y轴交于点D(0,3)小题1:求这个抛物线的解析式小题2:如图②,过点A的】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
小题1:求b+c的值
小题2:若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式;
小题3:在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标.
小题1:点A的坐标为__________,点B的坐标为___________;抛物线的解析式为_________;
小题2:在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP是以AC为直角边向直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由
小题3:若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点,连结BD、CD。当△BCD的面积最大时,求点D的坐标。
小题4:若点P是(1)中所求抛物线上一个动点,以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ。当点Q落在x轴上时,直接写出点P的坐标.
小题1:点A的坐标为 ▲ ;
小题2:求过点A、O、C的抛物线解析式,并求它的顶点坐标;
小题3:在直线AB上是否存在点P,使得以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似。若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
A.<< | B. | C. | D. |
小题1:求抛物线的解析式;
小题2:将△OAC绕x轴旋转一周,求所得旋转体的表面积;
小题3:如图2,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,设垂直于x轴的直线l:x=n与(1)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l 沿x轴方向左右平移,且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:当n为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.
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