题目

题型：不详难度：来源：

已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x₁，0）、
B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，．
（1）求证： ；
（2）求m、n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

答案

（1）证明：∵二次函数图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。
（2）解：∵二次函数与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=－x₁，OB=x₂；。
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。
由三角函数定义得：。
∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化简得：。
将 代入得：，化简得：。
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，；当n=－1时，。
∴m、n的值为： ，n=－1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。
（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1， ，
∴抛物线解析式为：。
联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，
化简得： 。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=0²+16（p－3）=0，解得p=3。
∴抛物线解析式为：。
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。

解析

二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。
【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+4m=0。
（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。
（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。