题目

题型：不详难度：来源：

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝，x₁•x₂＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x₁－x₂|＝
。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)，B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值．

答案

（1）4（2）12

解析

解：（1）当△ABC为直角三角形时，
过C作CE⊥AB于E，
则AB＝2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b²－4ac＞0，
则|b²－4ac|＝b²－4ac。
∵a＞0，∴AB。
又∵CE，∴。
∴，即。
∵b²－4ac＞0，∴b²－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝AB，
∴。
∵b²－4ac＞0，∴b²－4ac＝12。
（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值。
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AB，据此列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值。