题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1），（2）15， (3) D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）

解析

解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，
∴k=﹣4。
∴双曲线的解析式为。
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1。
∴抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（），对称轴为x=。
∵B（1，﹣4），∴﹣x²﹣3x=﹣4，解得：x₁=1，x₂=﹣4。
∴C（﹣4，﹣4）。
∴S_△ABC=×5×6=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2。
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）。
∴EF=。∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=××3=。
（3）S_△ABE=，∴8S_△ABE=15。
∴当点D与点C重合时，显然满足条件，
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，
其直线解析式为y=﹣2x﹣12。
令﹣2x﹣12=﹣x²﹣3x，解得x₁=3，x₂=﹣4（舍去）。
当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件。
综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。
（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF可得△ABE的面积。
（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。