题目
题型:不详难度:来源:
(1)求过A、B、O三点的抛物线解析式;
(2)若在线段AB上有一动点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于M,设PM的长度等于d,试探究d有无最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
(3)若在抛物线上有一点E,在对称轴上有一点F,且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形,试求出点E的坐标.
答案
解析
试题分析:(1)在Rt△ABC 中,根据∠BAC的正切函数可求得AC=4,再根据勾股定理求得AB,设OC=m,连接OH由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=4-m.在Rt△AOH 中,根据勾股定理可求得m的值,即可得到点O、A、B的坐标,根据抛物线的对称性可设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-),再把B点坐标代入即可求得结果;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据待定系数法求得直线AB的解析式,设动点P(t,),则M(t,),先表示出d关于t的函数关系式,再根据二次函数的性质即可求得结果;
(3)设抛物线y=的顶点为D,先求得抛物线的对称轴,与抛物线的顶点坐标,根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.分AO为平行四边形的对角线时,AO为平行四边形的边时,根据平行四边形的性质求解即可.
(1)在Rt△ABC 中,∵BC="3" ,tan∠BAC=,
∴AC=4.
∴AB=.
设OC=m,连接OH
由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,
∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.
∴在Rt△AOH 中, OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得 m=.
∴OC=,OA=AC-OC=,
∴O(0,0) A(,0),B(-,3).
设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-).
把x=,y=3代入解析式,得a=.
∴y=x(x-)=.
即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据题意得
,解之得,.
∴直线AB的解析式为y=.
设动点P(t,),则M(t,).
∴d=()—()=—=
∴当t=时,d有最大值,最大值为2.
(3)设抛物线y=的顶点为D.
∵y==,
∴抛物线的对称轴x=,顶点D(,-).
根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.
当AO为平行四边形的对角线时,抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形.这时点D即为点E,所以E点坐标为().
当AO为平行四边形的边时,由OA=,知抛物线存在点E的横坐标为或,即或,
分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中,得点E(,)或E(-,).
所以在抛物线上存在三个点:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.
点评:此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.
核心考点
试题【已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC="3" ,tan∠BAC=,将∠ABC对折,使点C的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交AC于点O,以点O为】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)写出每月的利润(万元)与销售单价(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月获得的利润为440万元?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于40元,如果厂商每月的制造成本不超过540万元,那么当销售单价为多少元时,厂商每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?
A. | B. | C. | D. |
A.(2,0) | B.(-2,0) | C.(0,4) | D.(0,-4) |
A a>0 b<0 c>0
B a<0 b<0 c>0
C a<0 b>0 c<0
D a<0 b>0 c>0
A.2012 | B.2011 | C.2014 | D.2013 |
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