题目
题型:不详难度:来源:
(1)求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论;
(3)点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标.
答案
∴平移后的抛物线的表达式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,即y=﹣x2+2x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4)。
(2)∠ACB与∠ABD相等。理由如下:
如图,∵y=﹣x2+2x+3,
∴当x=0时,y=3,即C点坐标为(0,3)。
又∵B(3,0),∠BOC=90°,
∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°。
在△BCD中,∵BC2=32+32=18,CD2=12+12=2,BD2=22+42=20,
∴BC2+CD2=BD2。∴∠BCD=90°。
∴。
∵在△AOC中,∠AOC=90°,∴tan∠ACO=。
∴tan∠ACO=tan∠CBD。∴∠ACO=∠CBD。
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACB=∠ABD。
(3)∵点P在平移后的抛物线的对称轴上,而y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1,
∴可设P点的坐标为(1,n)。
∵△ABC是锐角三角形,∴当△CDP与△ABC相似时,△CDP也是锐角三角形。
∴n<4,即点P只能在点D的下方。
又∵∠CDP=∠ABC=45°,∴D与B是对应点,分两种情况:
①如果△CDP∽△ABC,那么,
即。解得n=,
∴P点的坐标为(1,)。
②如果△CDP∽△CBA,那么,
即,解得n=。
∴P点的坐标为(1,)。
综上可知P点的坐标为(1,)或(1,)。
解析
试题分析:(1)根据平移不改变二次项系数a的值,且平移后的抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),可知平移后抛物线的表达式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,再运用配方法化为顶点式,即可求出顶点D的坐标。
(2)先由B、C两点的坐标,得出∠OBC=∠OCB=45°,再根据勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,则由正切函数的定义求出tan∠CBD=,在△AOC中,由正切函数的定义也求出tan∠ACO=,得出∠ACO=∠CBD,则∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACB=∠ABD。
(3)设P点的坐标为(1,n),先由相似三角形的形状相同,得出△CDP是锐角三角形,则n<4,再根据∠CDP=∠ABC=45°,得到D与B是对应点,所以分两种情况进行讨论:
①△CDP∽△ABC;
②△CDP∽△CBA。
根据相似三角形对应边的比相等列出关于n的方程,解方程即可。
核心考点
试题【抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示,点A,B坐标分别为(﹣1,0)、(3,0),设平移后的抛物线与y轴交于点C,其顶点为D.(1)求平移后的抛物线的解析式和点】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
(1)求S与x的函数关系式;
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?
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