题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
答案
令y=0,解得:x=3,∴B的坐标是(3,0)。
∵A为顶点,∴设抛物线的解析为。
把B(3,0)代入得:4a-4=0,解得a=1。
∴抛物线的解析式为即。
(2)存在。
∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC。
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=-x。
设P(m,-m),则,解得(,舍去)。
∴P(。
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴,即。∴。
∴,即。
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴,即。
∴,即。
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,则△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即。
∴,解得OQ3=1或3,即Q3(0,-1),Q4(0,-3)。
综上,Q点坐标为或或(0,-1)或(0,-3)。
解析
试题分析:(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解。
(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件。
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可。
核心考点
试题【如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值;
(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 12 | 5 | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | 5 | 12 |
(1)二次函数有最小值,最小值为﹣3;
(2)当时,y<0;
(3)二次函数的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.
则其中正确结论的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
(1)当t= 时,点P与点Q相遇;
(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形?
(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.
①求s与ι之间的函数关系式;
②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的
△APD与△PCQ重叠部分的面积.
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