题目
题型:不详难度:来源:
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.
①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)
答案
解析
试题分析:(1)把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可; (2)①根据点A、B的坐标求出OA=OB,从而得到△AOB是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质,PD越大,△PDE的周长最大,再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时,PD最大,再求出直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立消掉y,得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,从而得到点P的坐标; ②先确定出抛物线的对称轴,然后(i)分点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ,设点P的横坐标为n,表示出PQ的长,即PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解;(ii)点N在对称轴上时,同理求出△APF和△ANQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ,根据点A的坐标求出点P的纵坐标,再代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点P的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),
∴,
解得,
所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∵PF⊥x轴,
∴∠AEF=90°﹣45°=45°,
又∵PD⊥AB,
∴△PDE是等腰直角三角形,
∴PD越大,△PDE的周长越大,
易得直线AB的解析式为y=x+3,
设与AB平行的直线解析式为y=x+m,
联立,
消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,
当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,
即m=时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,
此时x=,y=+=,
∴点P(,)时,△PDE的周长最大;
②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=,
(i)如图1,点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,
在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,
∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,
∴∠APF=∠QPM,
∵在△APF和△MPQ中,
,
∴△APF≌△MPQ(AAS),
∴PF=PQ,
设点P的横坐标为n(n<0),则PQ=﹣1﹣n,
即PF=﹣1﹣n,
∴点P的坐标为(n,﹣1﹣n),
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,
∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,
整理得,n2+n﹣4=0,
解得n1=(舍去),n2=,
﹣1﹣n=﹣1﹣=,
所以,点P的坐标为(,);
(ii)如图2,点N在对称轴上时,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,
∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,
∴∠FPA=∠QAN,
又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,
∴△APF≌△NAQ,
∴PF=AQ,
设点P坐标为P(x,﹣x2﹣2x+3),
则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,
解得x=﹣1(不合题意,舍去)或x=﹣﹣1,
此时点P坐标为(﹣﹣1,2).
综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时,点P坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的坐标为(﹣﹣1,2).
核心考点
试题【如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此抛物线的解析式.(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(2,1) | B.(-2,1) | C.(2,-1) | D.(-2,-1) |
A.(1,0)(-3,0) | B.(-1,0)(3,0) |
C.(1,0)(3,0) | D.(-1,0)(-3,0) |
A. | B. | C. | D. |
A.2个 | B.3个 | C.4个 | D.5个 |
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