题目

题型：不详难度：来源：

定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用表示，例如图1中，，图2中，.
定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（，，）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，，则，点G关于△ABC的“面积坐标”为.在图3中，我们知道，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：.
应用新知：
（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则        ，点D关于△ABC的“面积坐标”是       ；探究发现：
（2）在平面直角坐标系中，点，
①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于的“面积坐标”为，
试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；
②若点是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于的“面积坐标”（用x,y表示）；
解决问题：
（3）在（2）的条件下，点，点Q在抛物线上，求当的值最小时，点Q的横坐标.

答案

（1）；（2）①；②；（3）.

解析

试题分析：（1）直接根据“有向面积”和“ 面积坐标”的定义写出即可.
（2）①分点P在△ABO外部和当点P在△ABO内部两种情况讨论即可.
②直接根据 “ 面积坐标”的定义写出即可.
（3）分点Q在第二象限，点Q在第一象限和点Q在y轴上三种情况讨论即可.
试题解析：（1）.
（2）①当点P在△ABO外部时，，
∴.
当点P在△ABO内部时，，
∴.
综上所述，.

②.
（3）∵点Q在抛物线上，∴设.
①当点Q在第二象限时，，由图6可知，,
由得；
由得.
∴.
∴当时，的最小值为.
②当点Q在第一象限时，，由图7可知，,
由得；
由得.
∴.
∴此时，无最小值.
③当点Q为与y轴的交点时，Q（0，4），
由图8可知，，∴.
综上所述，的最小值为，此时，点Q的横坐标为.