题目

题型：同步题难度：来源：

设关于x的一次函数y=a₁x +b₁与y=a₂x+ b₂，则称函数y=m（a₁x +b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为这两函数的生成函数。
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P，判断点P是否在这两个函数的生成函数的图象上，并说明理由。

答案

解：（1）设函数y=x+1与y=2x的生成函数为y=m（x+1）+n（2x）=（m+2n）x+m，
当x=1时，两函数的生成函数值为y=（m+2n）×1+m=2m+2n=2（m+n），
∵m+n=1，
∴此两函数的生成函数的值为y =2×1=2；
（2）点P是在此两个函数的生成函数的图象上，理由如下：
设点P的坐标为（e，f） 则由题意可得f=a₁e+b₁与f=a₂e+b₂，
又知函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的生成函数为y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+ b₂），
∴当自变量x=e时，生成函数的值为y=m（a₁e+b₁）+n（a₂e+ b₂）=mf+nf=（m+n）f=1×f=f，
即点P是在此两函数的生成函数的图象上。