题目

题型：吉林省期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为( -4 ，0) ，点B 的坐标为(0 ，b)（b>0）。P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P" （点 P" 不在y 轴上），连结P P" ， P"A ，P"C ，设点P 的横坐标为a 。
（1） 当b ＝3 时，求直线AB 的解析式；
（2 ）在(1) 的条件下，若点P" 的坐标是(-1 ，m) ，求m 的值；
（3）若点P 在第一像限，是否存在a  ，使△P"CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1） 设直线AB 的解析式为y=kx+3 ，
把x ＝-4 ，y ＝0 代人上式，得-4k+3 ＝0 ，
∴k=，      ∴y=x+3；
（2）由已知得点P的坐标是(1，m)，
∴m=×1+3，
∴m=3；
(3)  以下分三种情况讨论．

i)若∠AP"C= 90°，P"A= P"C（如图1），过点P"作P"H⊥x轴于点"H，
∴PP"=CH=AH=P"H =AC，
∴2a=（a+4），∴a=；
ii)若∠P"AC=90°，P"A= CA(如图2)，
则PP"=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4；
iii)若∠P"CA =90°，则点P"，P都在第一象限，

这与条件矛盾，∴△P"CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。