题目

题型：河南省期末题难度：来源：

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒；
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．

答案

解：（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD=AB=10，
∴CD=OC﹣OD=12，
∴OA=BD= =9，
∴B（10，9）；
（2）①由题意知：AM=t，ON=OC﹣CN=22﹣2t，
∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半， ∴ ，
∴t=6，
②设四边形OAMN的面积为S，则 ，
∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小，
∴当t=10时，s最小，最小面积为54．
③如备用图，取N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交AO于点P，
此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小．
当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22﹣2t=2，
∴M（10，9），N（2，0），
∴N′（﹣2，0）；
设直线MN′的函数关系式为y=kx+b，则 ，解得 ，
∴P（0， ），
∴AP=OA﹣OP= ，
∴动点P的速度为 个单位长度/秒．