题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

阅读材料：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0， ）．动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1， ，2（单位长度/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 （单位长度/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是_____________；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为________________　；当t=____________　 　，点P与点E重合；
（3）作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

答案

解：（1）设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．则
，
解得，
故直线AB的解析式为：y=﹣x+3；
（2）∵A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，），
∴AO=3，OB=3 ， ∴tAO=3÷1=3（秒），tOB=4﹣3=1（秒），
∴P（0，）；根据题意知，点P与点E在OB上重合，
则=+，即=3+，
解得，OE=，
∴t=÷=，即t=；
 （3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG，
又∵OE=FG= t，∠A=60°，
∴AG=FG tan60°=t；
而AP=t，
∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG= t，由3﹣t= t，得 t=
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE= t，
∴BE=3﹣t，
∴EF=BEtan60°=3﹣
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t﹣6）在Rt△BMP中，BPcos60°=MP即2（t﹣6）=，解得t=．