题目

题型：北京期末题难度：来源：

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=与BC边相交于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标。

答案

解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）
 ∴BC∥OA，点D的纵坐标为3
∵直线与BC边相交于点D，
∴
∴x=2，故点D的坐标为（2，3）；
（2）∵若抛物线经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P₁，
∴BA∥MP₁，
∴∠BAD=∠AMP_1^，
①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，
∴△ABD∽△MP₁A，
∴P₁（3，0），
②当∠MAP₂=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP_2^，
∴∠AP₂M=∠ADB，
∵AP₁=AB，∠AP₁P₂=∠ABD=90°，
∴△AP₁P₂≌△ABD，
∴P₁P₂=BD=4，
∵点P₂在第四象限，
∴P₂（3，-4），
∴符合条件的点P有两个，P₁（3，0）、P₂（3，-4）。