题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

如图，直线y=﹣3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点。
（1）填空：A（ _________ ， _________ ）、B（ _________ ， _________ ）、C（ _________ ， _________ ）；（2）求抛物线的函数关系式；
（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）直线y=﹣3x﹣3中，
x=0，则y=﹣3；
y=0，则x=﹣1；
∴A（﹣1，0），B（0，﹣3）；
根据旋转的性质知：OC=OB=3，即C（3，0）；
∴A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）；
（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过B点，
∴c=﹣3；
又∵抛物线经过A，C两点，
∴，
解得；
∴y=x²﹣2x﹣3；
（3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F；
由（2）得y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4
∴E（1，﹣4），
∵tan∠EDF=，tan∠DCO=；
∴∠EDF=∠DCO
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠EDF+∠ODC=90°；
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DOC；
①当=时，△ODC∽△DPC，则=，
∴DP=
过点P作PG⊥y轴，垂足为点G；
∵tan∠EDF==，
∴设PG=x，则DG=3x
在Rt△DGP中，DG²+PG²=DP²，
∴9x²+x²=，
∴x₁=，x₂=﹣（不合题意，舍去）
又∵OG=DO+DG=1+1=2，
∴P（，﹣2）；
②当=时，△ODC∽△DCP，则=，
∴DP=3；
∵DE==，
∴DP=3（不合题意，舍去）
综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，
此时点P的坐标为P（，﹣2）。