题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

（1）用分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

（1）点A(，0) ,点B(，o),点P,45°（2）PA的函数表达式为，PB的函数表达式为,（3）

解析

解：(1)在直线中，令，得． ∴点A(，0)．……1分
在直线中，令，得． ∴点B(，o)．……1分
由 得    ∴点P
在直线中，令，得，∴，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，∴∠PAB＝45°．   ……1分
(2)∵，，AO=CO，而CQ：AO＝1：2
而．
过点P作PE垂直x轴于点E．
．
                           ……2分
∴(舍去)．得．∴P()．
∴PA的函数表达式为，PB的函数表达式为．   ……1分
(3)存在．
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点，过点A作BP的平行线交PM于点，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点．
①∵∥AB且∥AP，∴是平行四边形．此时，易得；
②∵∥AB且∥BP，∴是平行四边形．此时，易得；
③∵∥AP且∥BP，此时是平行四边形．∵∥AP且B(2，O)，∴。同理可得．
由  得       ∴         ……3分

（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根据
S_{四边形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D₁，D₂，D₃的坐标．