题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0  ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0  ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是-

1

2

，求方程②的根．

答案

（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，
∴△₁=0，
即n-1≠0，m²-4（n-1）=0，
m²=4（n-1）．
因为m²≥0，n≠1．
∴m²=4（n-1）＞0，n＞1．
方程②中，△₂=（-2m）²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=4m²（m²+2n²-2）．
将m²=4n-4代入，得△₂=4m²（2n²+4n-6）=8m²（n+3）（n-1）．
∵m²＞0，n＞1．
∴△₂＞0，
∴方程②有两个不相等的实数根．

（2）∵方程①有两个相等的实数根，
∴两根都是-

1

2

，
则-

m

n-1

=-1，

1

n-1

=

1

4

，
解得n=5，m=4．
代入方程②得16y²-8y-16-50+3=0．
解得y₁=-

7

4

，y₂=

9

4

．