题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知、、…都是正整数,且,若的最大值为A,最小值为B,则A+B的值为__________
答案
A+B=494
解析
解:因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,
故x12+x22+…+x402的最小值和最大值是存在的.
不妨设x1≤x2≤…≤x40,若x1>1,则x1+x2=(x1-1)+(x2+1),且(x1-1)2+(x2+1)2=x12+x22+2(x2-x1)+2>x12+x22,
所以,当x1>1时,可以把x1逐步调整到1,这时x12+x22+…+x402将增大;
同样地,可以把x2,x3,x39逐步调整到1,这时x12+x22+…+x402将增大.
于是,当x1,x2,x39均为1,x40=19时,x12+x22+…+x402取得最大值,即A=
若存在两个数xi,xj,使得xj-xi≥2(1≤i≤j≤40),则(xi+1)2+(xj-1)2=xi2+xj2-2(xj-xi-1)<xi2+xj2,
这说明在x1,x3,x39,x40中,
如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时,x12+x22+…+x402将减小.
所以,当x12+x22+…+x402取到最小时,x1,x2,x40中任意两个数的差都不大于1.
于是当x1=x2=x22=1,x23=x24=x40=2时,x12+x22+…+x402取得最小值,
即B==94,
故A+B=494.
核心考点
举一反三
A. | B. | C.2+3=5 | D. |
A. | B. | C.2+3=5 | D. |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.18人,40本 | B.10人,48本 | C.50人,8本 | D.18人,5本 |
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