题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴

a-1=1 a+b=3

，∴a=2，b=1
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

这样，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+2与一个分式

1

-x2+1

的和．
解答：
（1）将分式

-x4-6x2+8

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当x∈（-1，1），试说明

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值为8．

答案

（1）由分母为-x²+1，可设-x⁴-6x²+8=（-x²+1）（x²+a）+b
则-x⁴-6x²+8=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴

a-1=6 a+b=8

，
∴a=7，b=1，
∴

-x4-6x2+8

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+7)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+7)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+7+

1

-x2+1

这样，分式

-x4-6x2+8

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+7与一个分式

1

-x2+1

的和．

（2）由

-x4-6x2+8

-x2+1

=x²+7+

1

-x2+1

知，
对于x²+7+

1

-x2+1

，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值为8．