题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列各式：
（a-1）（a+1）=a²-1
（a-1）（a²+a+1）=a³+a²+a-a²-a-1=a³-1
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴+a³+a²+a-a³-a²-a-1=a⁴-1
根据观察的规律，解答下列问题：
（1）填空：
①（a-1）（______）=a⁶-1；
②（a-1）（a¹¹+a¹⁰+…+a+1）=______；
③（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a+1）=______．
（2）已知：1+22+24+26+…+22006+22008+22010=

1

3

×41006-

1

3

求：2+2³+2⁵+2⁷+…+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁹的值．

答案

（1）∵a-1）（a+1）=a²-1，
（a-1）（a²+a+1）=a³+a²+a-a²-a-1=a³-1，
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴+a³+a²+a-a³-a²-a-1=a⁴-1，
∴①a⁵+a⁴+a³+a²+a+1；
②a¹²-1；
③aⁿ⁺¹-1；
（2）因为（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰）=2²⁰¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹-1．
而1+22+24+26++22006+22008+22010=

1

3

×41006-

1

3

，
所以2+23+25+27++22007+22009=21011-1-(

1

3

×41006-

1

3

)
=22011-

1

3

×41006-

2

3

=

2

3

×41005-

2

3

．
故答案为：a⁵+a⁴+a³+a²+a+1，a¹²-1，aⁿ⁺¹-1．