题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

阅读以下内容：
(x－1)(x＋1)=x²－1，(x－1)(x²＋x＋1)=x³－1，(x－1)(x³＋x²＋x＋1)=x⁴－1，
根据上面的规律得(x－1)(x^n－1＋x^n－2＋x^n－3＋…＋x＋1)=       （n为正整数）；
根据这一规律，计算：1＋2＋2²＋2³＋2⁴+ …＋2²⁰¹⁰＋2²⁰¹¹=             。

答案

xⁿ－1,2²⁰¹²－1

解析

：（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
…
规律为左边都有（x-1）和关于x的多项式，常数项和每项系数均为1；
右边多项式的次数比左边多项式的次数大1．
故（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（n为正整数）．
（2）根据规律：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹¹=（2²⁰¹²-1）÷（2-1）=2²⁰¹²-1