题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

规定：正整数n的“H运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×

1

2

×

1

2

×…（其中H为奇数）．
如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运算”的结果是46．
请（1）数257经过257次“H运算”得到的结果．
（2）若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值．

答案

（1）1次=3×257+13=784
2次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=49
3次=3×49+13=160
4次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=5
5次=3×5+13=28
6次=28×0.5×0.5=7
7次=3×7+13=34
8次=34×0.5=17
9次=3×17+13=64
10次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=1
11次=3×1+13=16
12次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次
所以从第10次开始
偶数次等于1
奇数次等于16
257是奇数
所以第257次是16．
（2）若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环，
此时‘H’运算的结果总是A，则A一定是个奇数．
那么，对A进行H运算的结果A×3+13是偶数，再对A×3+13进行“H运算”，即：
A×3+13乘以

1

2k

的结果仍是A
于是（A×3+13）×

1

2k

=A
也即A×3+13=A×2^k
即A（2^k-3）=13=1×13
因为A是正整数
所以2^k-3=1或2^k-3=13
解得k=2或k=4
当k=2时，A=13；
当k=4时，A=1，
所以A为1或13．