题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a、b、c为整数，且满足3+a²+b²+c²＜ab+3b+2c，求(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc的值．

答案

由a、b、c均为整数，a²+b²+c²+3＜ab+3b+2c，得
a²+b²+c²+3≤ab+3b+2c-1
∴4a²+4b²+4c²+12≤4ab+12b+8c-4
（4a²-4ab+b²）+（3b²-12b+12）+（4c²-8c+4）≤0
（2a-b）²+3（b²-4b+4）+4（c²-2c+1）≤0
（2a-b）²+3（b-2）²+4（c-1）²≤0
∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc=

25

4

．