题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读理解：
计算(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)×(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)-(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)×(

1

2

+

1

3

+

1

4

)时，若把(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)与（

1

2

+

1

3

+

1

4

)分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设(

1

2

+

1

3

+

1

4

)为A，(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)为B，
则原式=B（1+A）-A（1+B）=B+AB-A-AB=B-A=

1

5

．请用上面方法计算：
①(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

)(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

)-(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

)(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

)
②(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)(

1

2

+

1

3

…+

1

n+1

)-(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n+1

)(

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．

答案

（1）设（

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

）为A，（

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

）为B，
原式=（1+A）B-（1+B）A=B+AB-A-AB=B-A=

1

7

；
（2）设（

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

n

）为A，（

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+…+

1

n+1

）为B，
原式=（1+A）B-（1+B）A=B+AB-A-AB=B-A=

1

n+1

．