题目

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．证明：n≥1时，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

提问时间：2022-04-15

答案

证明：（1）当n=1时，15[3+2]-2a0=1-2a0，而a1=30-2a0=1-2a0．∴当n=1时，通项公式正确．（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即ak=15[3k+（-1）k-1•2k]+（-1）k•2k•a0，那么ak+1=3k-2ak=3k-25×3k+25（-1）k•2k+（-1...

本题考查的知识点是数学归纳法及数列的递推公式，由题目中已经给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证明结论，我们先证明n=1时，通项公式正确，然后假设n=k（k∈N*）时正确，进而得到设n=k+1时，公式仍成立．

本题考点：数学归纳法；数列递推式．

考点点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．由n=k正确⇒n=k+1时也正确是证明的关键．