题目

已知，如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC=13，BC=24，PA∥BC，割线PBD过圆心，交⊙O于另一个点D，连接CD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求：⊙O的半径及CD的长．

提问时间：2022-01-22

答案

（1）证明：连接OA，设OA交BC于G．∵AB=AC，∴AB=AC∵OA过圆心O，∴OA⊥BC．∵PA∥BC，∴OA⊥PA．∴PA是⊙O的切线．（2分）（2）∵AB=AC，OA⊥BC，∴BG=12BC=12．∵AB=13，∴AG=132−122＝5．（3分）设⊙O的半径为R...

（1）连接OA，设OA交BC于G．由AB=AC，得

AB

=

AC

，再由PA∥BC，则OA⊥PA，则PA是⊙O的切线．
（2）由（1）得BG=

1

2

BC，根据勾股定理得出AG，设⊙O的半径为R，则OG=R-5．再由勾股定理求得OG．因为BD是⊙O的直径，则DC⊥BC，从而得出OG是△BCD的中位线．即可得出DC．

本题考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．

考点点评：本题考查了切线的判定和性质勾股定理以及三角形的中位线定理．