题目

平面间的两点距离
三角形ABC中,D是BC边上的任意一点（D与A ,B不重合）,且AB^2=AD^2+BD×CD,求证：三角形为等腰三角形.

提问时间：2022-01-15

答案

先过A点作BC的高AE
则AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+ED^2
AB^2=AD^2-ED^2+BE^2=AD^2+(BE^2-ED^2)=AD^2+(BE+ED)(BE-ED)
=AD^2+BD(BE+ED)
又因为AB^2=AD^2+BD×CD
所以BD(BE+ED)=BD×CD
BE+ED=CD
因为CD=DE+EC
所以BE+ED=DE+EC
BE=EC
因AE是BC上的高,可得三角形ABE和三角形ACE全等,AB=AC
三角形ABC为等腰三角形.