题目

设α、β、γ∈（0，

π

2

）且sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，则α-β= ___ ．

提问时间：2022-01-09

答案

∵sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，γ∈（0，

π

2

），
∴sinγ=sinβ-sinα，
cosγ=cosβ-cosα＞0，
∴cosβ＞cosα，故0＜β＜α＜

π

2

，
∴α-β＞0；①
∵sin²γ+cos²γ=（sinβ-sinα）²+（cosβ-cosα）²=1，
即2-2sinβsinα-2cosβcosα=1，
∴cos（α-β）=

1

2

；
∵α、β∈（0，

π

2

），
∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

②
由①②得0＜α-β＜

π

2

，
∴α-β=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

依题意，利用sin²γ+cos²γ=1即可求得α-β．

本题考点：两角和与差的余弦函数．

考点点评：本题考查两角和与差的余弦函数，由sin²γ+cos²γ=1作为突破口是关键，属于中档题．