题目

直线x-ky+1-k=0（k属于[1/2,2]）,与坐标轴交于两点A、B,O是原点,C是AB的中点,求|OC|的取值范围.

提问时间：2022-01-07

答案

k>0 所以斜率大于零 x=0时 y=1/k-1 y=0时 x=k-1
ABO是直角三角形 直角三角形 直角点到斜边中点是斜边一半 所以OC=AC=BC=1/2AB
AB=根号OA^2+OB^2 OA就是y=0时 |x| OB就是x=0时 |y|
OA^2+OB^2=(1/k-1)^2+(k-1)^2
=1/k^2-2/k+1+k^2+1-2k
=k^+1/k^2-2/k-2k+2
=(k+1/k)^2-2(k+1/k)
把t带换k+1/k k属于[1/2,2],因为t=k+1/k是对号函数 k=1/k时取最小值 k=1/2或2时取最大值 最小值k=1时 t=2 最大值 k=1/2或2时 t=2.5
AB^2=t^2-2t t属于[2,2.5] AB^2属于[0,1.5]
所以AB属于0到二分之根号6
OC=1/2AB 属于0到四分之根号6
能看明白吗?