题目

设 F₁、F₂是双曲线

x2

4

−y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积为（　　）
A.

5

B. 2
C.

5

2

D. 1

提问时间：2022-01-04

答案

∵双曲线

x2

4

−y2＝1中，a=2，b=1
∴c=

a2+b2

=

5

，可得F₁（-

5

，0）、F₂（

5

，0）
∵点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=20
根据双曲线的定义，得||PF₁|-|PF₂||=2a=4
∴两式联解，得|PF₁|•|PF₂|=2
因此△F₁PF₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=1
故选：D

根据双曲线的方程，算出焦点F₁（-

5

，0）、F₂（

5

，0）．利用勾股定理算出|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=20，由双曲线的定义得||PF₁|-|PF₂||=2a=4，联解得出|PF₁|•|PF₂|=2，即可得到△F₁PF₂的面积．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题给出双曲线上的点P对两个焦点的张角为直角，求焦点三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、勾股定理和三角形的面积公式等知识，属于基础题．