题目

已知二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

提问时间：2021-12-31

答案

解法一：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴可设二次函数为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展开，得 y=ax²+2ax-3a，
顶点的纵坐标为 

−12a2−4a2

4a

＝−4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|-4a|=2，即a=±

1

2

．
所以，二次函数的表达式为y=

1

2

x2+x−

3

2

，或y=-

1

2

x2−x+

3

2

．
解法二：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴对称轴为直线x=-1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或-2．
于是可设二次函数为y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函数图象过点（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-

1

2

，或a=

1

2

．
所以，所求的二次函数为y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=

1

2

（x+1）²-2．

解法一：设函数为交点式，利用二次函数图象的顶点到x轴的距离2，可得函数解析式；
解法二：设函数为顶点式，利用函数图象过点（1，0），可得函数解析式．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查函数解析式的求法，解题的关键是正确设出函数的解析式，属于基础题．