题目

试证明N次多项式最多只有N个互异的根 用行列式矩阵证明

提问时间：2021-12-30

答案

n次多项式knx^n+...+k1x+k0,显然系数不能全为0.
设有n+1个不同的根x1,x2,...,xn+1,则有
knx1^n+...+k1x1+k0=0
knx2^n+...+k1x2+k0=0
...
knxn+1^n+...+k1xn+1+k0=0
将多项式的系数看成这些方程的未知数
则其系数矩阵为
x1^n ...x1 1
x2^n ...x2 1
...
xn+1^n ...xn+1 1
该矩阵的行列式是范德蒙德行列式,因为x1,x2,...,xn+1互不相同,故其行列式不为0.
故该方程只有零解.故kn=k1=k0=0 矛盾
故N次多项式最多只有N个互异的根