题目

证明：若函数f(x)在点x0连续且f(xo)不等于0,则存在x0的某一邻域U(x0),当x属于U(x0)时,f(x)不等于0

提问时间：2021-12-26

答案

设f(xo)＝a≠0.∵函数f(x)在点x0连续,∴ 对于ε＝|a|/2＞0 存在δ＞0 当x∈﹙x0-δ,x0+δ﹚＝U(x0)
时 |f(x)-f(xo)|＜ε.
即x∈U(x0) -|a|/2＜f(x)-a＜|a|/2
a--|a|/2＜f﹙x﹚＜a+ |a|/2 即
f﹙x﹚∈a的 |a|/2邻域,注意a≠0,a的 |a|/2邻域 当然不含零.
即 当x属于U(x0)时,f(x)不等于0