图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（　　） A.63 B.23 C.13 D.1010 - 超级试练试题库

题目

图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（　　）

提问时间：2021-12-26

答案

取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE=AB
∵OB=OE，AO=AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB=∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO²=OB²+AB²
∵OB=1，AB=3
∴AO=

易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO=OF：OB
∴1：

=OF：1
∴OF=

sin∠CBE=

故选D．

取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE=

，求得OF的长即可求解．

本题考点：切线长定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题主要考查了切线长定理，以及三角形的相似，求角的三角函数值的问题转化为求线段的比的问题．

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