题目

如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F在AC边上移动．

（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．

提问时间：2021-12-26

答案

（1）点E，F移动的过程中，△OEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形，
①当OE=EF时，∠OEF是直角，F，A重合，OE是三角形ABC的中位线，E是AB中点，此时BE=1；
②当OF=EF时，∠OFE是直角，与①同理，E，A重合，F是AC中点，此时BE=2；
③当OE=OF时，如果连接OA，那么OA必然平分∠BAC，

∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
由∠EOF=45°，由对称性得到∠AOE=∠AOF=22.5°，
∴∠EOB=∠FOC=67.5°，
又∵BO=CO，∠B=∠C=45°，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
又∵∠BEO=∠BOE=∠COF=∠CFO=67.5°，
∴BE=BO=CO=CF=

1

2

BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=2

2

，由此可得出BE=CF=

2

；
（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB，
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC，
∴

BE

CO

=

BO

CF

，
∵BE=x，CF=y，OB=OC=

1

2

22+22

=

2

，
∴

x

2

=

2

y

，
则y=

2

x

（1≤x≤2）．

（1）可分三种情况进行讨论：①当OE=EF时；②当OF=EF时；③当OE=OF时；
（2）本题可通过图中的相似三角形BEO和CFO，可得出关于BO，OC，OE，OF的比例关系式，由于OB=OC=

2

，由此可得出关于y，x的函数关系式．

本题考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题主要考查了相似三角形的性质和等腰三角形的性质等知识点，通过相似三角形得出角相等或边成比例是解题的关键．