题目

在三角形ABC中,AB=AC,BD为中线,你能确定3AB与2BD的大小关系吗?说明你的理由.
.A
..
..D
..
B.........C

提问时间：2021-12-24

答案

能,3AB＞2BD,证明如下:
方法一 解析几何法
以BC中点O为原点,BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立直角坐标系,设OA=h,OC=OB=a
根据题意不难知D点坐标为（a/2,h/2),
∴向量BD=（3a/2,h/2),
另易知向量BA=(a,h),
∴3AB=3根号(a²+h²),2BD=根号（9a²+h²)
(3AB)²-(2BD)²=8h²＞0,∴3AB＞2BD □
方法二 向量法
设向量BA=a,向量BC=b,显然2向量BD=a+b
那么（3AB）²=9a²,(2BD)²=a²+b²+2a•b
根据题给条件可知|a|＞|b|/2,∴a²＞b²/4,而a•b等于a在b上的投影乘以b的模等于b²/2
∴(3AB)²-(2BD)²=9a²-(a²+b²+2a•b)=8a²-2b²＞0
∴3AB＞2BD □
方法三 平面几何法
过A作AG‖BC交BD的延长线于G
显然△ADG≌△CDB∴AG=BC,DG=DB
∴BG=2BD,AG+AB=AB+BC
而根据三角不等式可知AG+AB＞BG
同时在此等腰三角形中AB＞BC/2
∴3AB=2AB+AB＞BC+AB=AB+AG＞BG=2BD □