题目

已知函数f(x)＝

x

ax+b

（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式______，f[f（-3）]=______．

提问时间：2021-12-23

答案

f(x)＝

x

ax+b

=x，整理得ax²+（b-1）x=0，有唯一解
∴△=（b-1）²=0①
f（2）=

2

2a+b

=1，②
①②联立方程求得a=

1

2

，b=1
∴f(x)＝

2x

x+2

f（-3）=6，∴f[f（-3）]=f（6）=

3

2

故答案为f(x)＝

2x

x+2

，

3

2

先根据f(x)＝

x

ax+b

=x的方程有唯一解，整理成一元二次方程求得△=0，求得a和b的关系，进而根据f（2）=1求得a和b，则函数f（x）解析式可得．进而求得f（-3）=6，代入f[f（-3）]求得答案．

本题考点：函数与方程的综合运用；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用．解题的过程重点根据方程得根据的情况判断判别式与0的关系．