题目

p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x²+mx+n=0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．

提问时间：2021-12-21

答案

若关于x的方程x²+mx+n=0有两个小于1的正根，设为x₁，x₂，则0＜x₁＜1，0＜x₂＜1，有0＜x₁+x₂＜2且0＜x₁x₂＜1．根据根与系数的关系

x1+x2＝−m x1x2＝n

得

0＜−m＜2 0＜n＜1

即-2＜m＜0，0＜n＜1，故有q⇒p．
反之，取m=-

1

3

，n=

1

2

，x²-

1

3

x+

1

2

=0，△=

1

9

-4×

1

2

＜0，
方程x²+mx+n=0无实根，所以p推不出q．
综上所述，p是q的必要不充分条件．

本题只能从q：关于x的方程x²+mx+n=0有两个小于1的正根入手，找出关系，p⇒q用特殊值法．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：韦达定理和不等关系的应用，是解决根与系数的关系问题的一般方法，特殊值法解决否定问题有独特作用．